用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体，也称立方体、正方体。正六面体是一种侧面和底面均为正方形的直平行六面体，即棱长都相等的六面体。正六面体是特殊的长方体。正六面体的动态定义是：由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平移该正方形的边长而得到的立体图形。

正六面体

cube

数学

立方体、正方体

属于六面体、是特殊的长方体

6个面形状相同，每条棱长度相等

特征

正六面体具有如下特征：

（1）正六面体有8个顶点，每个顶点连接三条棱。

（2）正六面体有12条棱，每条棱长度相等。

（3）正六面体有6个面，每个面面积相等，形状完全相同。

（4）正六面体的体对角线： 

，其中，a为棱长。1

表面积和体积

表面积

因为正六面体6个面全部相等，且均为正方形，所以正六面体的表面积

 ，其中，a为正六面体的棱长，S为正六面体的表面积。

体积

正方体属于棱柱的一种，棱柱的体积公式同样适用，即体积=底面积×高。由于正六面体6个面全部相等，且均为正方形，所以，正六面体的体积=棱长×棱长×棱长。

设一个正方体的棱长为a，则它的体积：

 。

相关概念

体对角线

例如，如图1所示，设正立方体ABCD- 

的棱长为a，

（1）先取上底面的面对角线（如图1中的线段AC），计算得到，AB的长度= 

；

（2）这条面对角线AC和它相交的棱，就是垂直于上底面的棱 

，又可以组成一个直角三角形，而这个直角三角形的斜边 

就是体对角线，根据勾股定理，可以得到，正六面体的体对角线的长度= 

。

单位体积

（1）棱长是1厘米的正六面体，体积是1立方厘米；

（2）棱长是1分米的正六面体，体积是1立方分米；

（3）棱长是1米的正六面体，体积是1立方米。

球半径

（1）外接球半径：外接球的半径R=正方体体对角线的一半；

（2）内切球半径：内切球的半径r=正方体边长的一半。

平面截正方体

用一个平面截正方体，可得到以下三角形、矩形、正方形、五边形、正五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形，具体截法如下：

（1）三角形：过一个顶点与相对的面的对角线以内的范围内的线；

（2）矩形：过两条相对的棱或一条棱；

（3）正方形：平行于一个面；

（4）五边形：过四条棱上的点和一个顶点或五条棱上的点；

（5）六边形：过六条棱上的点；

（6）正六边形：过六条棱的中点；

（7）菱形：过相对顶点；

（8）梯形：过相对两个面上平行不等长的线。

优美定值

定理1

定理1：若正方形边长为a，以其中心为圆心的圆半径为r，则该圆上任意一点与该正方形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值。

（1）推论1.1：若正方形ABCD的边长为a，P是其外接圆上任意一点，则：

为定值。

（2）推论1.2：若正方形ABCD的边长为a，P是其内切圆上任意一点，则：

（3）推论1.3：若正n边形(n=2k)边长为a，以该正n边形中心为圆心的圆半径为r，则该圆上任意一点与该正n边形各顶点连线段长度的平方和为： 

（定值）。

（4）推论1.4：若正n边形((n=4k)对角线长为m，以该正n边形中心为圆心的圆半径为r，则该圆上任意一点与该正n边形各顶点连线段长度的四次方和为定值：

定理2

定理2：若正方体的棱长为a，以其中心为球心的球的半径为R，则该球上任意一点与该正方体各顶点连线段长度的平方和为：

 (定值），四次方和为： 

（定值）。

（1）推论2.1：若正方体的棱长为a，则其外接球上任意一点与该正方体各顶点连线段长度的平方和为

 ，四次方和为 

。

（2）推论2.2：若正方体的棱长为a，则其内切球上任意一点与该正方体各顶点连线段长度的平方和为

 ，四次方和为

。

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